[2014년 저현고]

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[1학년 1학기 중간]

부등식 [eqn: LEFT | x RIGHT | + LEFT | x-7 RIGHT | >9]를 만족하는 가장 작은 자연수 [eqn: x]의 값은?

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다항식 [eqn: f(x)]를 일차식 [eqn: -ax+b]로 나누었을 때 그 나머지를 구하는 과정이다.

위 과정에서 (가), (나)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

다항식 [eqn: f(x)]를 일차식 [eqn: -ax+b]로 나누었을 때,

몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라고 하면
[eqn: f(x)= BOX{`````(가)`````} +R]
이다.

위의 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x= BOX{`````(나)`````}]를 대입하면

[eqn: R=f( BOX{`````(나)`````} )]
이다.

③

	(가)	(나)
①	[eqn: (ax-b)Q(x)]	[eqn: {b} over {a}]
②	[eqn: (ax-b)Q(x)]	[eqn: - {b} over {a}]
③	[eqn: (-ax+b)Q(x)]	[eqn: {b} over {a}]
④	[eqn: (-ax+b)Q(x)]	[eqn: - {b} over {a}]
⑤	[eqn: (-ax+b)Q(x)]	[eqn: b]

[eqn: x ^{2} +3x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, 두 수 [eqn: alpha+ { 1} over {beta }], [eqn: beta+ { 1} over {alpha }]을 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은?

⑤

① [eqn: x^2`-4x+6=0]	② [eqn: x ^{2} `+4x-6=0]

③ [eqn: x ^{2} `-6x-4=0]	④ [eqn: x ^{2} `-6x+4=0]

⑤ [eqn: x ^{2} `+6x+4=0]

다항식 [eqn: 4x ^{3} +x ^{2} -3x+13]을 [eqn: x ^{2} -2x+4]로 나눌 때 몫을 [eqn: f(x)], 나머지를 [eqn: g(x)]라고 하자. [eqn: f(x)+g(x)]는?

④

① [eqn: -2x+25]	② [eqn: -2x-11]	③ [eqn: -x+49]

④ [eqn: 3x-14]	⑤ [eqn: 4x+9]

이차함수 [eqn: f(x)=x^2`+ax+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+b]가 만나지 않도록 하는 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수는?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

연립방정식 [eqn: {cases{x-y=-2&#x ^{2} -xy+2y ^{2}&=4}}]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y=beta]라고 할 때, [eqn: alpha + beta]의 최댓값은?

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: {1} over {i} - {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} - {1} over {i ^{4}} + CDOTS - {1} over {i ^{10}} =a+bi]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

삼차다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]는 [eqn: x^2`+x+1]로 나누어떨어지고, [eqn: f(x)+12]는 [eqn: x^2`+2]로 나누어떨어진다. [eqn: f(0)=4]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

④

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

다항식 [eqn: f(x)=x^3 +9x^2 +4x-45]에 대하여 등식
[eqn: f(x+a)=x ^{3} +bx-3]
이 [eqn: x]의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이 때 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

①

① [eqn: -26]	② [eqn: -24]	③ [eqn: -22]

④ [eqn: -20]	⑤ [eqn: -18]

복소수 [eqn: z]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: bar { z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt { -1}]이다.)

③

ㄱ. [eqn: z bar{z }=0]이면 [eqn: z=0]이다.

ㄴ. [eqn: z^{ 2}<0]이면 [eqn: z+ bar{z} =0]이다.

ㄷ. [eqn: z ^{2} + bar{z} ` ^{2} =0]이면 [eqn: z=i bar{z}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: rmANGLE B=30 DEG]이고 [eqn: rm bar{AB} = bar{AC} =4]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 변 [eqn: rmAB]위의 한 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 점 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmP]를 지나고 변 [eqn: rmBC]와 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmS], 점 [eqn: rmS]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 점 [eqn: rmR]이라 하자. 직사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이가 최대일 때, 직사각형 [eqn: rmPQRS]의 둘레의 길이는? (단, 점 [eqn: rmP]는 꼭짓점 [eqn: rmA], 꼭짓점 [eqn: rmB]가 아니다.)

③

① [eqn: 1+2 sqrt { 3}]	② [eqn: 3 sqrt {2}]	③ [eqn: 2+4 sqrt {3}]

④ [eqn: 4- sqrt {5}]	⑤ [eqn: 4+3 sqrt {3}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+m=0]의 서로 다른 두 실근이 모두 [eqn: 2]보다 작을 때, 실수 [eqn: m]의 값의 범위는?

④

① [eqn: -2<m<`-1]	② [eqn: -1<m<`0]	③ [eqn: -1<m<`1]

④ [eqn: 0<m<`1]	⑤ [eqn: 0<m<`2]

방정식 [eqn: x ^{3`} =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: bar{omega }]는 [eqn: omega]의 켤레복소수이다.)

③

ㄱ. [eqn: 1+2 omega+3 omega ^{ 2}+4 omega ^{ 3}+5 omega ^{ 4}=2+4 omega]

ㄴ. [eqn: {bar{omega }} over {omega ^{2}} + {- bar{omega } ` ^{2} -1} over {bar{omega }} =0]

ㄷ. [eqn: omega ^{ 2n}+ omega ^{ n}+1=0]을 만족시키는 [eqn: 20] 이하의

자연수의 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 14]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: ab !=0]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: f(a,```b)= {a-bi} over {a+bi}]라 하자. 복소수 [eqn: z]와 [eqn: w]에 대하여
[eqn: z=f(a,```b) bar { f(a,```b)}],
[eqn: w=f(1,```3)+f(2,```6)+f(3,```9)+ CDOTS +f(10,```30)]
일 때, [eqn: z+w]의 값을 구하면? (단, [eqn: bar { z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

③

① [eqn: -9-6i]	② [eqn: -8-5i]	③ [eqn: -7-6i]

④ [eqn: -6-5i]	⑤ [eqn: -4-5i]

그림과 같이 수조에 물을 채우는 두 개의 수도꼭지 [eqn: A], [eqn: B]와 배수구 [eqn: C]가 있다. 빈 수조에 물이 가득 차는 시간은 다음과 같다.

수도꼭지 [eqn: B]는 잠그고 배수구 [eqn: C]는 막은 뒤 수도꼭지 [eqn: A]만을 열어서 빈 수조를 가득 채우는데 걸리는 시간은? (단, 수도꼭지 [eqn: A], [eqn: B]에서 시간당 각각 나오는 물의 양은 항상 일정하고 배수구 [eqn: C]에서 시간당 나가는 물의 양도 항상 일정하다.)

∘ 수도꼭지 [eqn: A], [eqn: B]를 열고 배수구 [eqn: C]를 막아서

물을 채우면 수조가 가득 차는데 [eqn: 6]시간이 걸린다.

∘ 수도꼭지 [eqn: A], [eqn: B]와 배수구 [eqn: C]를 모두 열면 수조가

가득 차는데 [eqn: 12]시간이 걸린다.

∘ [eqn: 5]시간 동안 수도꼭지 [eqn: A], [eqn: B]를 열고 배수구 [eqn: C]를

막아서 물을 채운다. [eqn: 5]시간이 되는 순간 수도꼭지

[eqn: A]는 그대로 둔 채 수도꼭지 [eqn: B]만 잠그고 배수구

[eqn: C]를 열어서 [eqn: 10]시간이 더 지나면 수조가 가득 찬다.

③

① [eqn: 8]시간	② [eqn: 9]시간	③ [eqn: 10]시간

④ [eqn: 11]시간	⑤ [eqn: 12]시간

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: A]를 [eqn: x^2`+1]로 나눈 나머지를 [eqn: R(A)]라 할 때,옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: R(x ^{10} -x+1)=x]

ㄴ. [eqn: R(x ^{9} +x+1)=R(x ^{5} +x+1)]

ㄷ. 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n=4k+3]이면

[eqn: R(x ^{n} +x+1)=1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 여덟 개의 정삼각형으로 이루어진 전개도가 있다. 전개도에 의해 만들어지는 입체도형의 각 꼭짓점에는 자연수를 적고, 각 면에는 세 꼭짓점에 적힌 수들의 곱을 적는다. 각 면에 적힌 수들의 합이 [eqn: 105]일 때, 전개도로 만들어진 입체도형의 꼭짓점에 적힌 수들의 합은?

②

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

서술형

계수가 실수인 사차방정식 [eqn: x^4`+ax^3`+bx^2`+2x-2=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: a=-2], [eqn: b=1]

(2) [eqn: 1-i], [eqn: -1], [eqn: 1]

(1) [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

(2) 나머지 세 근을 구하고 그 과정을 서술하시오.

복소수 [eqn: z=(2+i)x^2`+(6-10i)x-36+21i]에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: x]는 실수이다.)

(1) [eqn: x=3,```7]

(2) [eqn: x=-6]

(1) [eqn: z]가 실수일 때, [eqn: x]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

(2) [eqn: z]는 [eqn: 0]이 아니고 [eqn: z+ bar { z}=0]이 성립할 때, [eqn: x]의 값을 구하고

그 과정을 서술하시오. (단 [eqn: bar { z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

다음 식을 인수분해하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: (x+y+z)(xy+yz+zx)]

[eqn: (x+y)(y+z)(z+x)+xyz]

[eqn: -2 LEQx LEQ1]일 때, 함수 [eqn: y=(x^2`+2x+2)^2`-2a(x^2`+2x+2)]의 최솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: a<0] 일 때 최솟값 [eqn: 1-2a]

[eqn: 1 LEQ a<5] 일 때 최솟값 [eqn: -a ^{2}]

[eqn: a GEQ `5`] 일 때 최솟값 [eqn: 25-10a]

[2014년 저현고]

[1학년 1학기 중간]

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